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归并排序

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归并排序

归并排序

最近在学分治,碰到了一道逆序对的题目，可以用线段树，归并排序，树状数组做，这里讲的是归并排序算法。

归并排序算法是用分治策略实现对n个元素进行排序的算法，其基本思想是：将待排序的元素分成大小大致相同的集合，分别对两个子集合进行排序，最终将排好序的子集合合并成要求的排好序的子集合。
归并排序是稳定的排序,其时间复杂度是O(n*logn)。

因为每个子集合是有序的，所以我们先考虑分成两个区间的情况(假定这两个子区间是已经排好序的)。
设左右端点分别为l,r，这里mid=(l+r)>>+1使得左区间的个数始终>=右区间的个数。

我们定义两个变量i=l,j=mid+1分别模拟左区间和右区间的指针。
再定义一个temp数组用来存储两个子区间排序后的值，k=l为temp数组的初始角标。

然后我们开始向temp数组中存值
这里需要while循环直到有一个区间的指针超过该区间尾指针时，结束该循环。
当a[i]>a[j]时,tenp[k]=a[j],k++,j++;
否则，temp[k]=a[i],k++,i++;
结束循环时，一定有一个区间中的元素全部放进了temp数组中，
所以我们需要把剩下那个区间的元素按顺序直接放进temp数组就可以了。

此时temp数组已经是排好序的了，然后我们需要再把temp数组中的元素重新赋值给原数组。

那么讨论完只有两个区间的情况,我们需要将每次得到的区间全部一分为二，直到待排序集合只剩下一个集合为止。
所以我们需要递归搜索每个子集合，在搜完当前区间的左右区间后，还需对他们进行排序。

附归并排序代码：

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#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=5e5;
int a[maxn+5],temp[maxn+5];
void merge(int a[],int l,int mid,int r) {
    int i=l,j=mid+1,k=l;
    while(i<=mid&&j<=r) {
        if(a[i]>a[j]) {
            temp[k]=a[j];
            k++;
            j++;
        } else {
            temp[k]=a[i];
            k++;
            i++;
        }
    }
    while(i<=mid) {
        temp[k]=a[i];
        k++;
        i++;
    }
    while(j<=r) {
        temp[k]=a[j];
        k++;
        j++;
    }
    for(int i=l; i<=r; i++)
        a[i]=temp[i];
}
void merge_sort(int a[],int l,int r) {
    if(l==r)
        return;
    int mid=(l+r)>>1;
    merge_sort(a,l,mid);
    merge_sort(a,mid+1,r);
    merge(a,l,mid,r);
}
int main() {
    int n;
    while(scanf("%d",&n)&&n) {
        cnt=0;
        for(int i=0; i<n; i++)
            scanf("%d",&a[i]);
        merge_sort(a,0,n-1);
        for(int i=0;i<n;i++)
            printf("%d\n",a[i]);
    }
    return 0;
}

逆序对(poj2299)

首先来看一下逆序对的定义：设 A 为一个有 n 个数字的有序集 (n>1)，其中所有数字各不相同。
如果存在正整数 i, j 使得 1 ≤ i < j ≤ n 而且 A[i] > A[j]，则 <A[i], A[j]> 这个有序对称为 A 的一个逆序对，也称作逆序数。
例如：(3,4,5)和(1,2,3)的逆序数分别为2,3,3
因为每个子区间都是按照升序排序的，那么只有当左区间的某个元素大于右区间的某个元素时，逆序对才会出现。
如果左区间的某个元素大于右区间的某个元素，那么在左区间中从该元素向右一定都大于右区间的该元素。
也就是a[i]>a[j]时，我们要记下当前a[j]的逆序数,此时左区间[l,mid],右区间[mid+1,r];个数为mid-i+1;

附逆序对代码：

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#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=5e5;
int a[maxn+5],temp[maxn+5];
long long cnt;
void merge(int a[],int l,int mid,int r) {
    int i=l,j=mid+1,k=l;
    while(i<=mid&&j<=r) {
        if(a[i]>a[j]) {
            temp[k]=a[j];
            k++;
            j++;
            cnt+=mid-i+1;
        } else {
            temp[k]=a[i];
            k++;
            i++;
        }
    }
    while(i<=mid) {
        temp[k]=a[i];
        k++;
        i++;
    }
    while(j<=r) {
        temp[k]=a[j];
        k++;
        j++;
    }
    for(int i=l; i<=r; i++)
        a[i]=temp[i];
}
void merge_sort(int a[],int l,int r) {
    if(l==r)
        return;
    int mid=(l+r)>>1;
    merge_sort(a,l,mid);
    merge_sort(a,mid+1,r);
    merge(a,l,mid,r);
}
int main() {
    int n;
    while(scanf("%d",&n)&&n) {
        cnt=0;
        for(int i=0; i<n; i++)
            scanf("%d",&a[i]);
        merge_sort(a,0,n-1);
        printf("%lld\n",cnt);
    }
}